Les jeux de hasard

Le mot français « hasard » vient de l'arabe az-zahr, qui signifie « jeu de dés ». Il a été rapporté par les Croisés qui revenaient de Terre sainte. Il est possible aussi que az-zahr corresponde à un nom de lieu (« al-azar »?) dans lequel on jouait à ce jeu.


Les lois du hasard

Le calcul des probabilités a été inventé par Pascal au XVIIIe siècle, développé par D. Bernoulli au XVIIIe siècle (« loi des grands nombres ») et définitivement organisé par Laplace, Gauss, Poincaré et Émile Borel.

Voici quelques définitions et résultats simples qu'il faut retenir :

1 - Si N événements sont également possibles, et s'il existe, parmi eux, n événements particuliers dits « évènements favorables », la probabilité d'apparition d'un événement favorable est le rapport (inférieur à 1) :

P = n/N

Le nombre q = 1 - p est la probabilité complémentaire.

On a évidemment, p + q = 1.

2 - Soit p (A) la probabilité d'un événement A et p(B) celle d'un événement B. La probabilité p1 pour que l'événement A ou l'événement B se produise vaut :

P1 =P(A) + P(B)

La probabilité pour que l'événement A et l'événement B se produisent vaut :

P2 = P(A) X P(B)

3 - Soit a le gain d'un joueur lorsque se réalise l'événement de probabilité P. Le produit e = ap est l'espérance mathématique correspondant à l'événement en question.

4 - La fréquence d'un événement A est le nombre f qui mesure le rapport du nombre d'apparition n’ de cet événement au nombre N’ de cas réels :

f = n’/N’

Si N’ est suffisamment grand, f tend vers p (théorème de Bernoulli).

Exemple :

1 - Probabilité de tirer 6 avec un dé :

p = 1/6 = 0,1666...

Probabilité complémentaire (probabilité de ne pas tirer 6 avec un dé) :

q = 1 - p = 0,8333...

2 - Probabilité de tirer 6 ou 5 avec un dé :

p (6) = 1/6, p (5) = 1/6, donc p = 2/6 = 0,333...

De même, probabilité de tirer 6 et 5 en deux jets :

p = 1/6 x 1/6 = 1/36 = 0,0277...

3 - Espérance mathématique pour un joueur qui remporte une mise de 100 € toutes les fois qu'il tire 6 :

e = 100 p = 16,66 €

(Pratiquement, cela signifie que le joueur qui envisage de gagner 100 € en tirant 6 doit offrir une mise de 16,66 € à son adversaire, pour chaque coup de dé).

> Voir quelques probabilités aux jeux de dés.


Jeux de hasard équitables et non équitables

Un jeu de hasard se résume généralement aux éléments suivants :

1 - C'est un jeu à deux (deux personnes physiques jouant l'une contre l'autre, ou bien un joueur jouant contre un casino, ou contre une banque, etc.).

2 - L'un des joueurs (nous le nommerons le banquier) propose de payer à l'autre (que nous nommerons le ponte) une somme a (gain) si un événement de probabilité p se produit. Pour pouvoir jouer, c'est-à-dire risquer de gagner a, le second joueur doit proposer une mise x.

3 - Si le jeu est équitable, on doit avoir x = ap.

Ainsi, au bout d'un très grand nombre de coups N, le ponte en aura gagné n, le rapport n/N étant égal à f (fréquence des gains). En vertu du théorème de Bernoulli, f tend vers p si N tend vers l'infini.

La situation comptable est alors la suivante :

- Le banquier a payé n = pN fois a euros. Il a gagné N fois a euros, soit pNa euros : ses gains sont égaux à ses pertes.
- Le ponte a misé N fois x = ap euros, soit Nap euros. Il a gagné n = fN fois a euros, soit Nap euros. Ses gains sont égaux à ses pertes.

4 - Un jeu non équitable est un jeu qui favorise l'un des deux joueurs. Par exemple, si la mise exigée du ponte est supérieure à ap, pour un gain possible de a, le ponte est défavorisé et, au bout d'un très grand nombre de coups, il sera nécessairement ruiné. Inversement, si la mise est supérieure à ap pour un gain possible a, c'est le ponte qui est favorisé.


Pourquoi jouer à un jeu de hasard ?

Si le jeu est équitable, on peut jouer avec les motivations suivantes :

1 - pour « passer le temps », en jouant un très grand nombre de coups pour être certain que ni l'un, ni l'autre des deux joueurs ne sera perdant. Dans ce cas, on peut aussi bien jouer sans « intéresser la partie », puisque le résultat global doit être nul.

2 - En espérant profiter des « irrégularités » du hasard. La loi des grands nombres exprime que le résultat global est nul, théoriquement, après une infinité de coups, mais, pour un nombre fini de coups, le résultat n'est généralement pas nul, il oscille dans un sens ou dans l'autre (fluctuations). Ainsi, au cours d'une partie équitable à pile ou face, on peut très bien sortir « pile » dix fois de suite, donc être gagnant dix fois de suite, mais, sur 1 000 coups, les résultats s'équilibreront. On peut donc envisager de quitter le jeu lorsqu'on est gagnant.

3 - En truquant le hasard, c'est-à-dire en trichant, mais il est bien évident que le jeu n'a plus d'équitable que les apparences.

- Si le jeu n'est pas équitable, l'un des deux joueurs est certain de se ruiner, à la longue, quoi qu'il fasse. Il est cependant poussé à jouer parce qu'il se fait, in petto, le raisonnement suivant : « Même dans un jeu équitable, il y a des phases perdantes et des phases gagnantes. Seul le résultat à longue échéance est certainement perdant. Je joue donc avec l'intention de quitter le jeu lorsque je serai dans une phase « gagnante ». Le vice du raisonnement réside dans le fait que la phase gagnante risque de se faire attendre longtemps, et qu'il faut, en conséquence, disposer d'un important capital pour pouvoir jouer de la sorte. Il faut aussi que l'adversaire accepte de prolonger le jeu indéfiniment, ce qui n'est jamais le cas, dans la réalité (dans un casino, par exemple, les salons de jeu ferment à heure fixe et, souvent, les mises ne peuvent dépasser un certain plafond). Dès lors, on ne peut plus répondre par des considérations purement statistiques à la question : « Pourquoi joue-t-on ? », la réponse relève de la psychologie et de la psychanalyse.


Pile ou face

Tout le monde connaît ce jeu de hasard simple qui consiste à jeter une pièce de monnaie en l'air, et à parier qu'elle tombera d'un côté (pile) ou l'autre (face). Au XVIIe siècle, on le nommait croix ou pile, car les pièces de monnaies utilisées comportaient une croix, sur l'une des deux faces. Chez les Romains, on utilisait des pièces de monnaie portant un navire (navis) sur une face et la tête de Janus (caput) sur l'autre : il s'agissait donc de capus aut navis (aut = « ou »). Le jeu a pris ainsi des noms divers, selon les lieux et les époques (Castille ou Leon en Espagne, head and tails en Angleterre, etc.).

Si la pièce est parfaitement symétrique, et si l'on considère comme nulle la probabilité qu'elle a de tomber sur la tranche, on peut dire que le jeu de « pile ou face » est un jeu de chances simples : le joueur qui parie pour pile a une probabilité p = 0,5 de gagner et son adversaire bénéficie de la probabilité complémentaire q = p = 0,5.

Le jeu de « pile ou face » est équitable si, à chaque coup, les mises des deux adversaires sont égales. Il existe des variantes de ce jeu : la courte-paille et pair-impair (l'un des joueurs cache dans sa main un certain nombre de petits objets (cailloux ou billes) et l'autre doit dire « pair » ou « impair ». Il gagne si la parité du nombre d'objets est égale à la parité annoncée. Les Romains et les Grecs jouaient déjà à ce jeu).

D’autres jeux de hasard comme les jeux de cartes font intervenir le hasard au niveau de la distribution. Certains d'entre eux sont de pur hasard, comme le baccara ou le trente-et-quarante. D'autres imposent le choix d'une stratégie tenant compte du hasard et d'autres facteurs comme dans le blackjack, le bridge ou le poker.


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