Jeux d’argent et martingales

Connaissez-vous les « racleurs » ? Ils peuplent généralement les casinos de France et de Navarre les après-midi de semaine. Ces petits joueurs présentent une particularité remarquable dans le monde qu'ils fréquentent : ils gagnent tous les jours ! Leur méthode est théoriquement infaillible. La preuve : elle est mathématique et a pour nom la « martingale de d'Alembert ». À la roulette, sur des choix simples (noir/rouge, pair/impair...), elle consiste à jouer toujours la même couleur et à s'arrêter dès que l'on gagne une fois. Seule contrainte : vous devez doubler la mise jusqu'à ce que la chance vous sourit. En respectant cette règle, de simples calculs de probabilités montrent que sur les deux premiers coups, en tenant compte de tous les cas de figure, on possède trois chances sur quatre de gagner ! Mieux : sur les trois premiers coups, les mêmes calculs indiquent sept chances sur huit de rafler la mise !


La méthode miracle existerait donc...

Hélas ! À y regarder de plus près, on s'aperçoit que cette tactique promet tout au plus, et quel que soit le nombre de coups joués, une espérance de gains toujours égaux à la mise initiale. Ainsi, de deux choses l'une : soit l'on mise gros dès le premier coup, auquel cas on prend le risque de perdre une forte somme d'emblée, soit on limite les risques en misant peu... avec l'espoir de gagner tout aussi peu. En effet, la logique de ce système veut que l'on attende que la série ennemie, noire en l'occurrence, se brise. On remarquera aussi que, même dans le cas d'un joueur prudent, la martingale de d'Alembert a une fâcheuse tendance à faire risquer très vite très gros pour un bénéfice bien maigre. Faites le calcul avec une mise de départ de 100 euros. Il suffit, si l'on joue rouge, par exemple, que le noir sorte cinq fois de suite pour être amené à risquer 3200 euros au sixième coup, alors que l'on a déjà dilapidé 3100 euros. Et tout ça pour gagner cent euros.

D'autre part, les casinos fixent un minimum et un maximum pour les mises, ce qui interdit, dans les faits, d'utiliser la martingale plus de 5 ou 6 fois de suite. Voilà pourquoi ceux qui la pratiquent sont appelés les « racleurs » : ils sont condamnés à gagner petit... tout en perdant gros de temps en temps.

Cette histoire montre combien probabilités et jeux de hasard sont étroitement liés. Les grands mathématiciens du XVIIe siècle, qui ont donné naissance à la science concernant les premières, se sont également intéressés aux seconds. Là où le bât blesse, c'est qu'à leur époque, tout comme aujourd'hui, les jeux de hasard sont aussi très souvent des jeux d'argent et que beaucoup se servent des probabilités pour faire croire, en vendant des formules « magiques », que l'on peut domestiquer le hasard pour en tirer profit. Voyons donc comment démonter certaines préparations de jeux « infaillibles », souvent fondées d'ailleurs sur des calculs fort justes, mais dont les résultats sont souvent interprétés de façon douteuse.


Exemple de martingale à la roulette

Une des martingales de base des joueurs de roulette consiste à miser toujours sur la même couleur, disons le rouge, jusqu'à ce qu'elle sorte, en doublant sa mise à chaque fois. Dès que le rouge sort, on s'arrête. Au premier coup, la probabilité que le rouge sorte est évidemment d'une chance sur deux (si l'on fait abstraction du zéro avec lequel la banque du casino rafle toutes les mises). Calculons maintenant la probabilité de gagner sur deux coups avec 10 euros comme mise initiale. Il y a deux cas de figure :

1) Le rouge sort au premier coup. On remporte 20 euros avec un bénéfice net de 10 euros. La probabilité d'un tel événement est de un sur deux.
2) Le noir sort au premier coup. On rejoue donc le rouge au deuxième coup en misant cette fois 20 euros. Là encore, deux cas de figure : soit le rouge sort avec la probabilité 1/2, soit le noir sort avec la probabilité 1/2. Sachant que sur deux coups les cas de figure envisageables sont au nombre de quatre (rouge puis rouge, rouge puis noir, noir puis rouge, noir puis noir), la probabilité d'obtenir la série qui nous intéresse ici, noir puis rouge, est donc de 1/4. Le joueur a une chance sur quatre de remporter 40 euros au deuxième coup avec un gain de 10 euros (40 euros moins ses mises de 10 et 20 euros). Ce qui, au total, donne au joueur trois chances sur quatre (1/2 + 1/4) de remporter 10 euros en deux coups. Ce raisonnement répété sur trois coups donnerait sept chances sur huit de gagner l'équivalent de la mise initiale.


Le cas des jeux de la Française des jeux

À tout seigneur tout honneur. Commençons par les jeux que propose la Française des Jeux, le plus grand casino du pays, avec ses millions de joueurs fidèles et un chiffre d'affaires qui s'élève à près de deux milliards d’euros. Un premier distinguo est à faire entre les jeux de grattage dénommés « instantanés » (type Morpion, ou Banco : si l'on découvre trois sommes identiques parmi les neuf cases grattées, on gagne, etc.) et les jeux de loterie (Loto, Keno ...).

Dans le premier cas, les entourloupes basées sur les probabilités sont impossibles: les chances de gagner tel ou tel lot sont tout bêtement égales au nombre de tickets gagnants imprimés par la Française des Jeux divisé par le nombre total de tickets mis en circulation chez les buralistes. Ces données, réunies sous forme de tableaux de répartition des lots, sont parfaitement accessibles auprès de la Française des Jeux. On s'aperçoit ainsi qu'au Millionnaire, sur 6 millions de tickets émis, quatre donnent accès à 1 million d’euros, tandis que quatre autres permettent d'empocher 100 000 euros. Cela dit, la proportion des tickets gagnant les tout petits lots (10 et 20 euros) s'élèverait officiellement à environ 90 % de tickets gagnants. Ce taux élevé de « gagne-misère » n'est évidemment pas un hasard, car la Française des Jeux sait bien qu'une fraction non négligeable de ces tickets gagnants pour le joueur vont très vite se transformer en tickets gagnants pour elle. En effet, très souvent, les joueurs reporteront leur mise sur d'autres tickets qui risquent fort, ceux-là, d'être perdants.

Affiche Loto 1986

Affiche Loto 1986

Pour ce qui est des jeux du type Loto (six boules tirées parmi quarante-neuf), les risques d'escroquerie aux probabilités sont bien plus importants. La raison en est simple. Les tirages sont des événements répétés dont les résultats sont publics. Ils forment donc une superbe matière première pour les amateurs de statistiques, auxquelles, c'est bien connu, on peut faire dire à peu près n'importe quoi.

Parmi les méthodes de préparation les plus répandues, on trouve celle appelée « des groupements ». Elle consiste à partager les 49 boules en deux groupes de 24 et 25 et à ne jouer que les boules appartenant à l'un des deux groupes. En s'en tenant évidemment toujours au même groupe au fur et à mesure des tirages. En revanche, on a tout loisir, au départ, de choisir la manière de partager les 49 boules : paires/impaires, etc. Les promoteurs de cette tactique font remarquer, statistiques à l'appui, bien entendu, que si l'on regarde toutes les combinaisons sorties sur un grand nombre de tirages, environ 10 % des gagnantes sont soit totalement incluses dans un des deux groupes, soit composées de 5 numéros issus de ce groupe. En d'autres termes, on peut allégrement supprimer 24 ou 25 numéros dans ses jeux tout en ayant une chance significative (10 %) de toucher un lot important à 5 ou 6 numéros gagnants. Certes, le nombre de combinaisons possibles à partir de 6 numéros sur 24, soit 134 596, est très sensiblement inférieur à 13 983 816, qui représente les possibilités ouvertes avec 49 chiffres.

Seulement, une partie du calcul est ici oubliée, celle qui mène tout simplement aux vraies chances d'obtenir le gros lot. Car les 134 596 possibilités ne veulent dire qu'une chose, à savoir que l'on peut préparer son « jeu de groupements » de... 134 596 manières différentes. Mais pour connaître la probabilité de gagner avec une combinaison de ce type, c'est finalement ce qui nous intéresse, il faut encore multiplier le rapport 1 sur 134 596 (les chances pour que la combinaison à groupement que l'on a jouée soit la bonne) par le nombre de combinaisons de ce type possible, c'est-à-dire 134 596, « dilué » dans l'ensemble des 13 983 816 combinaisons jouables avec 49 boules. Ce qui revient à multiplier le rapport 1 sur 134 596 par le rapport 134 596 sur 13 983 816, soit 1 sur 13 893 816. Retour à la case départ !

Affiche Loto 1988

Affiche Loto 1988

Une autre recette mirifique a la vie dure. Elle est sans doute plus « séduisante » encore que la précédente, car elle indique directement quels types de boules choisir, et demande au joueur d'établir lui-même des relevés statistiques à chaque tirage pour calculer ses prochains jeux. La méthode se fonde sur un calcul de probabilités qui fournit le nombre théorique de sorties de boules se présentant avec différents écarts sur un grand nombre de tirages. Une boule à écart 0 signifie qu'elle est sortie lors du dernier tirage, une boule à écart 1, à l'avant-dernier, etc. Ainsi, sur 200 tirages par exemple, le nombre de sorties de boules se présentant avec un écart 0 est le produit de trois nombres, 200, 6, et le quotient de 6 divisé par 49.200 parce qu'il y a 200 tirages, 6 parce qu'à chaque tirage il y a forcément 6 boules qui se présentent avec un écart 0 (celles qui sont sorties la fois précédente) et enfin 6 divisé par 49, qui représente la probabilité pour qu'une boule, quel que soit son écart, sorte à un tirage donné. Cette opération donne 146,9. Pour calculer le nombre théorique de sorties de boules qui se présentent avec un écart 1, les multiplications à faire sont les mêmes, à ceci près qu'il faut ajouter un quatrième facteur, celui qui donne la probabilité pour qu'une boule ne sorte pas au dernier tirage, soit 43 divisé par 49. On obtient alors un résultat de 128,5. En appliquant ce principe de calcul aux boules à écart croissant, on s'aperçoit que les nombres de sorties théoriques diminuent : 146,9 pour les boules à écart 0, 128,5 pour les boules à écart 1, 113,2 pour les boules à écart 2, etc. Du coup, l'exploitation de ces résultats coule de source... du moins en apparence : mieux vaut jouer les boules à faible écart, puisque ce sont celles qui sortent le plus souvent. Les tenants de cette méthode se font fort de convaincre l'amateur non éclairé en lui montrant les statistiques réelles de sorties de boules de différents écarts qui corroborent parfaitement ces calculs théoriques. Pour les établir, rien de plus facile : il suffit, après avoir noté les résultats d'un grand nombre de tirages, d'additionner les numéros sortis à chaque écart. Cependant, avant de crier victoire, il est bon de se pencher sur la signification réelle des résultats produits. Une première remarque s'impose : la règle « les boules sortent d'autant plus souvent qu'elles se présentent avec un écart faible » ne fournit aucune indication sur les numéros de boules eux-mêmes (ce qui est ennuyeux pour jouer) mais sur des ensembles de boules non individualisées correspondant à un écart donné. Ce qui suggère, dans une seconde approche, que cette « loi » sur les écarts concerne au même titre toutes les boules, et que tour à tour chacune d'elles présente un comportement individuel tel que cette règle est globalement vérifiée. Mais il ne faut pas perdre de vue qu'à chaque tirage, chacune des boules a tout loisir, avec autant de chances que les autres, de sortir et donc de « briser » son écart, quel qu'il soit. Rappelons en passant que cela ne contredit en rien la règle précédente dans la mesure où celle-ci porte justement sur les écarts et non sur les boules elles-mêmes.

Finalement, pour peu que l'on regarde de près cette règle, on comprend assez facilement qu'elle soit fort juste dans la mesure où elle ne fait que traduire une... évidence. En effet, dire « les boules sortent d'autant plus fréquemment qu'elles se présentent avec un écart faible » revient à dire « les boules sortent d'autant moins souvent qu'elles se présentent avec un écart élevé ». Traduction : à un tirage donné, une boule a plus de chances de poursuivre sa série noire (écart élevé) que de la « briser » au moment du tirage, ou encore, une boule a plus de chances de ne pas sortir que de sortir...

La règle « jouer plutôt les faibles écarts » semble d'ailleurs aller contre l'idée assez répandue selon laquelle un numéro qui n'est pas sorti depuis longtemps a plus de chances de sortir au coup suivant. Comme s'il devait rattraper son « retard ». Là encore, on peut détourner des calculs probabilistes. Considérons que nous assistons au quatrième tirage d'une loterie composée de deux boules, A et B, après avoir observé la sortie de la boule A les trois fois précédentes. La probabilité que A sorte encore la quatrième fois est le produit de quatre événements successifs de type « boule A sortie » ayant chacun une chance sur deux de se produire. Elle est ainsi égale à une chance sur 16. C'est peu. De là à dire qu'il est raisonnable de parier contre une quatrième sortie de A, il y a une étape que certains joueurs de roulette, partisans de la méthode dite des « fins de série », franchissent allégrement.


La méthode des fins de série à la roulette

Cette dernière méthode consiste, par exemple, à jouer le rouge après une série de noirs. Souvent, les joueurs qui la pratiquent se mettent même à plusieurs pour surveiller à tour de rôle l'apparition de séries de 5 ou 6 noirs et intervenir à temps pour jouer le rouge au bon moment. Seulement, tous ceux qui sont sensibles à la « démonstration » faite avec les boules A et B, qui justifie la méthode des « fins de série », gagneraient sans doute beaucoup à prendre aussi en compte le calcul déterminant des chances pour la boule B de sortir au quatrième tirage après être restée dans l'urne les trois fois précédentes. Immanquablement, ils trouveront aussi une chance sur 16.

Les exemples de « détournement » de probabilités reposent pour la plupart sur le même principe : calculer, a posteriori, la probabilité qu'une série d'événements passés ait eu lieu. Comme si, par on ne sait quel prodige, la roulette du casino ou la sphère du Loto étaient douées de mémoire. Si l'on met de côté l'usure du roulement d'une roulette, ou la fatigue d’une boule du Loto (ce qui est peu probable), les équipements de jeu forment en principe de bons systèmes aléatoires. Chaque tirage ou lancement de roulette s'effectue donc dans des conditions de remise à zéro totale. Bien sûr, malgré ces considérations, certains joueurs de roulette ne pourront pas s'empêcher, devant, par exemple, une très longue série de 20 noirs, de « sentir » l'arrivée imminente du rouge. Mais il y a une manière, tout aussi intuitive, de contrecarrer cette sensation. Elle consiste à considérer la roulette telle qu'elle est, comme une machine inerte à laquelle on pourrait attribuer un passé d'une durée infinie dans la mesure où, en principe, elle ne se modifie pas dans le temps. Dans ces conditions, qu'est-ce qui nous empêche d'imaginer que la série des 20 noirs n'est que le pâle « pendant » de séries bien plus longues en des temps reculés ?

Aussi surprenant que cela puisse paraitre, les seuls conseils raisonnables pour mieux jouer sont donnés par un scientifique, Gil Pagès, chercheur au Laboratoire des probabilités de l'université Paris-VI. Ses indications visent, sinon à gagner plus souvent au Loto, du moins à gagner davantage si la chance vous sourit. Elles consistent à jouer des combinaisons qui ne sont fétiches pour personne. Première règle, veillez à éviter les nombres inférieurs à 12, car ils correspondent le plus souvent à des mois, des jours, voire à des heures ! Deuxième règle : incluez plutôt dans vos combinaisons les nombres compris entre 39 et 44. Ils ont le mérite de ne pouvoir figurer dans les jours et les mois d'une date de naissance et correspondent par la force des choses à des années de faible natalité.


Rapport mises/gains : avantage au casino

Quitte à jouer, autant choisir le meilleur rendement. Au Loto, les choses sont claires, le pourcentage des enjeux répartis entre les gagnants s'élève à 53 %. Quant au reste, il tombe directement dans les caisses de la Française des Jeux. Pour un euro joué, l'espérance de gain du joueur de Loto plafonne donc à 0,53 euro. Au casino, les choses se passent différemment. Il n'y a pas de prélèvement forfaitaire. Les seuls biais observés sur une machine à sous ou une table de roulette (par exemple lorsque le zéro sort et qu'aucun joueur ne gagne, la banque encaissant toutes les mises) tournent généralement autour de 5 %. Pour un euro misé, l'espérance de gain avoisine donc 0,95 euro. À vous de choisir !


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